Kyfi's Blog

PROGRAM DINAMIS

Posted on: November 1, 2010

1        Program Dinamis (dynamic programming): metode pemecahan masalah dengan cara menguraikan solusi menjadi sekumpulan langkah (step) atau tahapan (stage) sedemikian sehingga solusi dari persoalan dapat dipandang dari serangkaian keputusan  yang saling berkaitan.

 

2        Pada penyelesaian persoalan dengan metode ini [3]:

(1)               terdapat sejumlah berhingga pilihan yang mungkin,

(2)               solusi pada setiap tahap dibangun dari hasil solusi tahap sebelumnya,

(3)               kita menggunakan persyaratan optimasi dan kendala untuk membatasi sejumlah

(4)               pilihan yang harus dipertimbangkan pada suatu tahap.

 

1        Tinjau graf pada Gambar 9.1. Kita ingin menemukan lintasan terpendek dari 1 ke 10.

 

 

 

Gambar 9.1 Graf untuk persoalan lintasan terpendek

 

2        Pada program dinamis, rangkaian keputusan yang optimal dibuat dengan menggunakan Prinsip Optimalitas.

 

3        Prinsip Optimalitas: jika solusi total optimal, maka bagian solusi sampai tahap ke-k juga optimal.

 

4        Prinsip optimalitas berarti bahwa jika kita bekerja dari tahap k ke tahap k + 1, kita dapat menggunakan hasil optimal dari tahap k tanpa harus kembali ke tahap awal.

 

5        Jika pada setiap tahap kita menghitung ongkos (cost), maka dapat dirumuskan bahwa

ongkos pada tahap k +1 =

(ongkos yang dihasilkan pada tahap k )  + (ongkos dari tahap k ke tahap k +1)

 

1        Dengan prinsip optimalitas ini dijamin bahwa pengambilan keputusan pada suatu tahap adalah keputusan yang benar untuk tahap-tahap selanjutnya.

 

2        Pada metode greedy hanya satu rangkaian keputusan yang pernah dihasilkan, sedangkan pada metode program dinamis lebih dari satu rangkaian keputusan. Hanya rangkaian keputusan yang memenuhi prinsip optimalitas yang akan dihasilkan.

Karakteristik Persoalan Program Dinamis

 

1.      Persoalan dapat dibagi menjadi beberapa tahap (stage), yang pada setiap tahap hanya diambil satu keputusan.

 

2.      Masing-masing tahap terdiri dari sejumlah status (state) yang berhubungan dengan tahap tersebut. Secara umum, status merupakan bermacam kemungkinan masukan yang ada pada tahap tersebut.

Graf multitahap (multistage graph). Tiap simpul di dalam graf tersebut menyatakan status, sedangkan V1, V2, … menyatakan tahap.

 

 

 

Gambar 9.2 Graf yang menyatakan tahap (stage) dan status (state)

 

3.      Hasil dari keputusan yang diambil pada setiap tahap ditransformasikan dari status yang bersangkutan ke status berikutnya pada tahap berikutnya.

 

4.      Ongkos (cost) pada suatu tahap meningkat secara teratur (steadily) dengan bertambahnya jumlah tahapan.

 

5.      Ongkos pada suatu tahap bergantung pada ongkos tahap-tahap yang sudah berjalan dan ongkos pada tahap tersebut.

 

6.      Keputusan terbaik pada suatu tahap bersifat independen terhadap keputusan yang dilakukan pada tahap sebelumnya.

 

7.      Adanya hubungan rekursif yang mengidentifikasikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k memberikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k + 1.

 

8.      Prinsip optimalitas berlaku pada persoalan tersebut.

1        Dua pendekatan yang digunakan dalam PD: maju (forward atau up-down) dan mundur (backward atau bottom-up).

 

2        Misalkan x1, x2, …, xn menyatakan peubah (variable) keputusan yang harus dibuat masing-masing untuk tahap 1, 2, …, n. Maka,

a.                  Program dinamis maju. Program dinamis bergerak mulai dari tahap 1, terus maju ke tahap 2, 3, dan seterusnya sampai tahap n. Runtunan peubah keputusan adalah x1, x2, …, xn.

 

b.                  Program dinamis mundur. Program dinamis bergerak mulai dari tahap n, terus mundur ke tahap n – 1, n – 2, dan seterusnya sampai tahap 1. Runtunan peubah keputusan adalah xn, xn-1, …, x1.

 

1        Secara umum, ada empat langkah yang dilakukan dalam mengembangkana algoritma program dinamis:

1.             Karakteristikkan struktur solusi optimal.

2.             Definisikan secara rekursif nilai solusi optimal.

3.             Hitung nilai solusi optimal secara maju atau mundur.

4.             Konstruksi solusi optimal.

 

Contoh Persoalan 1: Lintasan Terpendek (Shortest Path)

 

Tentukan lintasan terpendek dari simpul 1 ke simpul 10:

 

 

 

Penyelesaian dengan Program Dinamis Mundur

Misalkan x1, x2, …, x4 adalah simpul-simpul yang dikunjungi pada tahap k (k = 1, 2, 3, 4).

Maka rute yang dilalui adalah 1®x1®x2®x3®x4 , yang dalam hal ini x4 = 10.

Pada persoalan ini,

1.      Tahap (k) adalah proses memilih simpul tujuan berikutnya (ada 4 tahap).

2.      Status (s) yang berhubungan dengan masing-masing tahap adalah simpul-simpul di dalam graf.

Relasi rekurens berikut menyatakan lintasan terpendek dari status s ke x4 pada tahap k:

(basis)

,           (rekurens)

k = 1, 2, 3

Keterangan:

a.       xk : peubah keputusan pada tahap k (k = 1, 2, 3).

 

b.   : bobot (cost) sisi dari s ke xk

c.  fk(s, xk) : total bobot lintasan dari s ke xk

d.       fk(s) : nilai minimum dari fk(s, xk)

Tujuan program dinamis mundur: mendapatkan f1(1) dengan cara mencari f4(s), f3(s), f2(s) terlebih dahulu.

 

Tahap 4:

 

 

Solusi Optimum
f4(s) x4*
8 3 10
9 4 10

 

Catatan: xk* adalah nilai xk yang meminimumkan fk(s, xk).

 

Tahap 3:

 

 

f3(s, x3) = cs,x3 + f4(x3) Solusi Optimum
8 9 f3(s) x3*
5 4 8 4 8
6 9 7 7 9
7 6 7 6 8

 

 

Tahap 2:

 

 

 

f2(s, x2) = cs,x2 + f3(x2) Solusi Optimum
5 6 7 f2(s) x2*
2 11 11 12 11 5 atau 6
3 7 9 10 7 5
4 8 8 11 8 5 atau 6

 

 

Tahap 1:

 

 

 

f1(s, x1) = cs,x1 + f2(x1) Solusi Optimum
2 3 4 f1(s) x1*
1 13 11 11 11 3 atau 4

 

 

Solusi optimum dapat dibaca pada tabel di bawah ini:

 

  x1 x2 x3 x4 Panjang Lintasan Terpendek
 

1

3

 

 

4

 

 

 

5

 

5

 

6

8

 

8

 

9

10

 

10

 

10

11

 

11

 

11

 

 

Jadi ada tiga lintasan terpendek dari 1 ke 10, yaitu

1 ® 3 ® 5 ® 8 ® 10

1 ® 4 ® 5 ® 8 ® 10

1 ® 4 ® 6 ® 9 ® 10

yang mana panjang ketiga lintasan tersebut sama, yaitu 11.

Contoh Persoalan 2:  0/1 Knapsack.

Penyelesaian dengan Program Dinamis Maju

 

2        Pada persoalan ini,

1.                  Tahap (k) adalah proses memasukkan barang ke dalam truk (ada 3 tahap).

 

2.                  Status (y) menyatakan kapasitas muat truk yang tersisa setelah memasukkan barang pada tahap sebelumnya.

 

3        Dari tahap ke-1, kita masukkan objek ke-1 ke dalam karung untuk setiap satuan kapasitas karung sampai batas kapasitas maksimumnya. Karena kapasitas karung adalah bilangan bulat, maka pendekatan ini praktis.

 

4        Misalkan ketika memasukkan objek pada tahap k, kapasitas muat karung sekarang adalah  ywk.

 

5        Untuk mengisi kapasitas sisanya, kita menerapkan prinsip optimalitas dengan mengacu pada nilai optimum dari tahap sebelumnya untuk kapasitas sisa ywk ( yaitu fk-1(ywk)).

 

6        Selanjutnya, kita bandingkan nilai keuntungan dari objek pada tahap k (yaitu pk) plus nilai fk-1(ywk) dengan keuntungan pengisian hanya k – 1 macam objek, fk-1(y).

 

7        Jika pk + fk-1(ywk)  lebih kecil dari fk-1(y), maka objek yang ke-k tidak dimasukkan ke dalam karung, tetapi jika lebih besar, maka objek yang ke-k dimasukkan.

 

8        Relasi rekurens untuk persoalan ini adalah

 

f0(y) = 0,      y = 0, 1, 2, …, M (basis)

fk(y) = -¥,   y < 0                                                          (basis)

 

fk(y) = max{fk-1(y), pk + fk-1(ywk)},  (rekurens)

k = 1, 2, …, n

 

yang dalam hal ini,

fk(y) adalah keuntungan optimum dari persoalan 0/1 Knapsack pada tahap k untuk kapasitas karung sebesar y.

f0(y) = 0 adalah nilai dari persoalan knapsack kosong (tidak ada persoalan knapscak) dengan kapasitas y,

fk(y) = -¥ adalah nilai dari persoalan knapsack untuk kapasitas negatif. Solusi optimum dari persoalan 0/1 Knapsack adalah fn(M).

Contoh: n = 3

M = 5

 

Barang ke-i wi pi
1 2 65
2 3 80
3 1 30

 

Tahap 1:

f1(y) = max{f0(y), p1 + f0(yw1)}

= max{f0(y), 65 + f0(y – 2)}

 

 

  Solusi Optimum
f0(y) 65 + f0(y – 2) f1(y) (x1*, x2*, x3*)
0 0 0 (0, 0, 0)
1 0 0 (0, 0, 0)
2 0 65 65 (1, 0, 0)
3 0 65 65 (1, 0, 0)
4 0 65 65 (1, 0, 0)
5 0 65 65 (1, 0, 0)

 

Tahap 2:

f2(y) = max{f1(y), p2 + f1(yw2)}

= max{f1(y), 80 + f1(y – 3)}

 

 

  Solusi Optimum
f1(y) 80 + f1(y – 3) f2(y) (x1*, x2*, x3*)
0 0 80 + (-¥) = -¥ 0 (0, 0, 0)
1 0 80 + (-¥) = -¥ 0 (0, 0, 0)
2 65 80 + (-¥) = -¥ 65 (1, 0, 0)
3 65 80 + 0 = 80 80 (0, 1, 0)
4 65 80 + 0 = 80 80 (0, 1, 0)
5 65 80 + 65 = 145 145 (1, 1, 0)

 

Tahap 3:

f3(y) = max{f2(y), p3 + f2(yw3)}

= max{f2(y), 30 + f2(y – 1)}

 

 

  Solusi Optimum
f2(y) 30 + f2(y – 1) f3(y) (x1*, x2*, x3*)
0 0 30 + (-¥) = -¥ 0 (0, 0, 0)
1 0 30 + (-¥) = -¥ 0 (0, 0, 0)
2 65 30 + 0 = 30 65 (1, 0, 0)
3 80 30 + 65 = 95 95 (1, 0, 1)
4 80 30 + 80 = 110 110 (0, 1, 1)
5 145 30 + 80 = 110 145 (1, 1, 0)

 

Solusi optimum X = (1, 1, 0) dengan åp = f = 145.

 

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: